水仙花数

在数论中，给定数基 b 中的自恋数是一个数 那是它自己的数字的总和，每个数字都提高到数字的次方。

令 n 为自然数。 我们定义基数 b > 的自恋函数 1 {displaystyle b>1} F b : N → N

如果自然数 n 是 F b 的不动点，则它是自恋数，如果 F b ( n ) = n 。 自然数 0 ≤ n <; b 是所有 b 的平凡自恋数，所有其他自恋数都是非平凡自恋数。

例如，基数 b = 10 中的数字 153 是一个自恋数，因为 k = 3 和 153 = 1 3 + 5 3 + 3 3 { 显示样式 153=1{3}+5{3}+3{3}} 。

如果自然数 n  是 F b的周期点，则它是一个社交自恋数，其中 F b p ( n ) = n 对于正整数 p （这里 F b p 是 F b 的第 p 迭代 , 并形成周期 p 的循环。 自恋数是 p = 1  的社交自恋数，友好自恋数是 p = 2 的社交自恋数。

所有自然数 n 都是 F b 的前周期点，不管基数如何。 这是因为对于任何给定的数字计数 k ， n  的最小可能值是 b k − 1 ， n 的xxx可能值 为 b k − 1 ≤ b k  ，自恋函数值为 F b ( n ) = k ( b − 1 ) 。 因此，任何自恋数都必须满足不等式 b k − 1 ≤ k ( b − 1 ) k ≤ b k 。

将所有边乘以 b ( b − 1 ) k ，我们得到 ( b b − 1 ) k ≤ b k ≤ b ( b b − 1 ) k。超过这个值 k , F b ( n ) ≤ n 。 因此，自恋数的数量是有限的，任何自然数都保证到达一个周期点或一个小于 b k − 1 的不动点，使其成为周期前点。 将 b 设置为 10 表明以 10 为基数的xxx自恋数必须小于 10 60  。

F b i ( n )达到固定点所需的迭代次数 i  是自恋函数对 n  ，如果它从未达到固定点则为未定义。

当且仅当 b 2 + 1 不是质数时，基数 b 至少有一个两位数自恋数，并且两位数自恋数的个数 在基数 b 等于 τ ( b 2 + 1 ) − 2 ，其中 τ ( n ) 是 n 的正因子数。

每个不是九的倍数的基数 b ≥ 3 都有至少一个三位数的自恋数。