过剩数

在数论中，富余数或过多数是指其真因数之和大于该数的数。 整数 12 是xxx个丰富的数字。 它的真约数是 1、2、3、4 和 6，共计 16。总和超过该数的量就是丰度。 例如，数字 12 的丰度为 4。

一个数 n 其除数之和 σ(n) >; 2n，或等价地，适当除数的总和（或等分总和）s(n)＞； 名词

丰度是 σ(n) − 2n（或 s(n) − n）的值。

• 最小的奇丰度数是 945。
• 不能被 2 或 3 整除的最小丰度数是 5391411025，其不同的质因数是 5、7、11、13、17、19、23 和 29（OEIS 中的序列 A047802）。 Iannucci 在 2005 年给出的算法展示了如何找到不能被前 k 个素数整除的最小丰度数。 如果 A ( k ) 表示不能被前 k 个素数整除的最小数量，那么对于所有 ε >; 0
• 每个完全数的倍数（完全数本身除外）都是丰富的。 例如，每一个大于 6 的 6 的倍数都是丰富的，因为 1 + n 2 + n 3 + n 6 = n + 1。
• 每一个丰富的倍数都是丰富的。 例如，每一个 20 的倍数（包括 20 本身）都是丰富的，因为 n 2 + n 4 + n 5 + n 10 + n 20 = n + n 10 。
• 因此，存在无限多的偶数和奇数。

• 此外，丰富数的集合具有非零的自然密度。 Marc Deléglise 于 1998 年表明，丰富数和完全数集合的自然密度介于 0.2474 和 0.2480 之间。
• 不是丰度数或完全数的倍数的丰度数（即它的所有真约数都是亏的）称为本原丰度数
• 丰度大于任何较低数的丰度数称为高丰度数，相对丰度（即 s(n)/n ）大于任何较低数的丰度数称为超丰度数
• 每一个大于 20161 的整数都可以写成两个丰度数之和。
• 不是半完全数的丰富数称为怪数。 丰度为 1 的丰度数称为准完全数，尽管尚未发现。
• 每个丰度数都是完全数或原始丰度数的倍数。

真因式之和等于该数本身的数（如6和28）称为完全数，而真因式之和小于该数本身的数称为亏数。

n 的丰度指数是比率 σ(n)/n。 具有相同丰度指数的不同数 n1、n2、…（无论是否丰度）称为友好数。

最小数 n 的序列 (ak) 满足 σ(n) > kn，其中 a2 = 12 对应于xxx个丰富的数字，增长非常快（OEIS 中的序列 A134716）。

如果 p = (p1, …, pn) 是一个素数列表，那么如果某个仅由 p 中的素数组成的整数是丰富的，则 p 被称为丰富的。 其必要和充分条件是 pi/(pi – 1) 的乘积＞1。