包络定理

在数学和经济学中，包络定理是关于参数化优化问题的值函数的可微性的重要结果。当我们改变目标参数时，包络定理表明，在某种意义上，目标优化器的变化不会影响目标函数的变化。包络定理是优化模型比较静态的重要工具。包络一词源于将价值函数的图形描述为参数化函数族{f(x,⋅)}x∈X{displaystyleleft{fleft(x,cdotright)right}_{xinX}}已优化。

令X{displaystyleX}表示选择集，并令相关参数为t∈[0,1]{displaystyletinlbrack0,1]}。令f:X×[0,1]→R{displaystylef:Xtimeslbrack0,1]rightarrowR}表示参数化目标函数，值函数V{displaystyleV}和最佳选择对应（集值函数）X∗{displaystyleX{ast}}由下式给出：(1)(2)包络定义描述了值函数V{displaystyleV}在参数t{displaystylet}中可微的充分条件，并将其导数描述为(3)其中ft{displaystylef_{t}}表示f{displaystylef}关于t{displaystylet}的偏导数。

也就是说，价值函数对参数的导数等于目标函数对t{displaystylet}的偏导数，保持最大化器固定在其最佳水平。传统的包络定理推导使用(1)的一阶条件，这要求选择集X{displaystyleX}具有凸拓扑结构，并且目标函数f{displaystylef}在变量x{displaystylex}。（论点是xxx化器的变化在最优时只有二阶效应，因此可以忽略。）然而，在许多应用中，例如契约论和博弈论中激励约束的分析，非凸生产问题，以及单调或稳健的比较静态，选择集和目标函数通常缺乏传统包络定理所需的拓扑和凸性。PaulMilgrom和Segal(2002)观察到传统的包络公式适用于在任何可微分点具有任意选择集的优化问题。