约束 (数学)

在数学中，约束是解决方案必须满足的优化问题的条件。 有几种类型的约束——主要是等式约束、不等式约束和整数约束。 满足所有约束条件的候选解集称为可行集。

在此示例中，xxx行定义要最小化的函数（称为目标函数、损失函数或成本函数）。 第二行和第三行定义了两个约束，xxx个是不等式约束，第二个是等式约束。 这两个约束是硬约束，即要求满足； 他们定义了可行的候选解决方案集。

没有约束，解决方案将是 (0,0)，其中 f ( x ) {displaystyle f(mathbf {x} )} 具有最低值。 但是这个解决方案不满足约束条件。

术语

• 如果不等式约束在最优点处成立且相等，则称该约束具有约束力，因为该点不能沿约束的方向变化，即使这样做会提高目标函数的值。</ 李>
• 如果不等式约束在最优点处作为严格不等式成立（即不等式成立），则称该约束是非约束性的，因为该点可以在约束的方向上变化， 尽管这样做不是最佳选择。 在某些条件下，例如在凸优化中，如果约束是非约束性的，那么即使没有该约束，优化问题也会有相同的解。
• 如果在给定点不满足约束，则称该点不可行。

如果问题要求满足约束条件，如上文所述，则约束条件有时称为硬约束条件。 然而，在一些称为灵活约束满足问题的问题中，优选但不要求满足某些约束； 这种非强制约束被称为软约束。 例如，软约束出现在基于偏好的规划中。 在 MAX-CSP 问题中，允许违反多个约束，解决方案的质量由满足约束的数量来衡量。

全局约束是代表多个变量的特定关系的约束。 其中一些约束，例如 alldifferent 约束，可以用更简单的语言重写为原子约束的合取：alldifferent 约束对 n 个变量 x 1 成立。 . . x n {displaystyle x_{1}…x_{n}} ，如果变量取值是成对不同的，则满足。

其他全局约束扩展了约束框架的表现力。 在这种情况下，他们通常会捕获组合问题的典型结构。 例如，正则约束表示变量序列被确定性有限自动机接受。

全局约束用于简化约束满足问题的建模，扩展约束语言的表达能力，并改善约束解决方案：实际上，通过综合考虑变量，可以在求解过程中更早地看到不可行的情况。 许多全局约束都被引用到在线目录中。