双圆矩阵
目录
什么是双圆矩阵
在矩阵理论的数学科目中，图G的双圆矩阵是矩阵B(G)，其点是G的边，其独立集是G的假森林的边集，也就是每个连接组件最多包含一个循环的边集。双圆矩阵是由Simões-Pereira（1972）提出的，并由Matthews（1977）等人进一步探索。它是有偏图的框架矩阵的一个特例。
双圆矩阵的电路
这个矩阵的电路或最小依赖集是双环图（或自行车，但这个术语在图论中还有其他含义）；这些是连接图，其电路等级正好是2。有三种不同类型的双环图。Theta图由三条连接相同的两个顶点但互不相交的路径组成。八字图（或紧手铐）由两个只有一个共同顶点的循环组成。松手铐（或杠铃）由两个不相交的循环和一条最小连接路径组成。所有这些定义都适用于多图，即它们允许多边（共享相同端点的边）和循环（两个端点为同一顶点的边）。
双圆矩阵的平面图
图G的双圆矩阵的封闭集（平面）可以描述为G的森林F，这样在V(G)-V(F)的诱导子图中，每个连接的组件都有一个循环。由于矩阵的平面在通过集合包容进行部分排序时形成了一个几何网格，所以G的这些森林也形成了一个几何网格。在这个格子的部分排序中，F1≤F2，如果F1的每一棵组成树都包含在F2的每一棵树中，或者与F2的每一棵树顶点不相连，并且F2的每一个顶点都是F1的一个顶点。那么B(Go)的平面就是G的所有森林，不管是跨度还是非跨度。因此，图G的所有森林形成了一个几何网格，即G的森林网格（Zaslavsky1982）。
作为横向矩阵
双环矩阵可以被描述为由集合族产生的横向矩阵，其中每个集合元素最多属于两个集合。也就是说，矩阵的独立集合是可以用来形成部分或全部集合的不同代表系统的元素子集。在这种描述中，元素对应于图的边，每个顶点有一个集合，即以该顶点为端点的边的集合。
双圆矩阵的小数
与一般的横向矩阵不同，双圆矩阵形成了一个小数封闭类；也就是说，任何双圆矩阵的子矩阵或收缩也是一个双圆矩阵，这可以从它们在偏向图方面的描述中看出（Zaslavsky1991）。这里是在基础图方面对删除和收缩边缘的描述。要从矩阵中删除一条边，就要把它从图中删除。收缩的规则取决于它是什么类型的边。
要收缩矩阵中的一条链接（非环），就以通常的方式在图中收缩它。要收缩顶点v处的环路e，删除e和v，但不删除与v相关的其他边；相反，与v和另一个顶点w相关的每条边都会成为w处的环路。任何其他在v处的图形环路都会成为矩阵环路–在图形方面正确描述这一点，需要半边和散边；见偏向图形小数。
特征多项式
双圆矩阵B(Go)的特征多项式以一种简单的方式表达了G中各种大小的生成森林（包含G所有顶点的森林）的数量，其公式为{displaystylep_{B(G)}(lambda):=sum_{k=0}{n}(-1){k}f_{k}(lambda-1){n-k},}其中fk等于G中k边生成林的数量。其中fk等于G中k边生成林的数量。见Zaslavsky(1982)。矢量表示双圆矩阵，像所有其他横向矩阵一样，可以用任何无限场上的矢量表示。然而，与图形矩阵不同，它们不是规则的：它们不能用任意有限域上的向量表示。双圆矩阵在哪些场上有矢量表示的问题，导致了寻找图形有乘法收益的场的问题，这个问题基本上没有解决。