同构性(图论)

在图论中,两个图G{displaystyleG}和和G′{displaystyleG’}是同构的,如果存在一个图的同构,从某个细分的G{displaystyleG}的某个细分部分到{displaystyleG}的某个细分部分的图形同构。的某个细分区域到{displaystyleG}的某个细分区域的图形同构。G′{displaystyleG’}的某个细分。.如果图的边被认为是从一个顶点到另一个顶点的线(就像它们通常在插图中描述的那样),那么,如果两个图在拓扑学意义上是同构的,那么它们在图论意义上就是同构的。

细分和平

一般来说,图G的细分(有时被称为扩展)是指对G中的边进行细分后产生的图。对端点为{u,v}的某个边e进行细分后,会产生一个包含一个新顶点w的图,并且有一个边集,用两条新边{u,w}和{w,v}代替e。例如,端点为{u,v}的边e。可以被细分为两条边,e1和e2,连接到一个新的顶点w。反向操作,平滑或平滑一个顶点w关于附在w上的一对边(e1,e2),删除包含w的两条边,用连接这对边的其他端点的新边代替(e1,e2)。这里要强调的是,只有2度(即2价)的顶点可以被平滑化。例如,有两条边的简单连接图,e1{u,w}和e2{w,v}。有一个顶点(即w)可以被平滑掉,结果是。确定对于图G和H,H是否是G的一个子图的同构体,是一个NP-complete问题。Barycentric细分法Barycentric细分法对图的每条边进行细分。这是一个特殊的细分,因为它的结果总是一个二方图。这个过程可以重复进行,因此,第n个双心细分是图形的第n-1个双心细分的双心细分。第二个这样的细分总是一个简单的图形。

表面上的嵌入

很明显,对图形进行细分可以保留平面性。库拉托夫斯基定理指出当且仅当一个有限图不包含与K5(五个顶点的完整图)或K3,3(六个顶点的完整二方图,其中三个顶点分别连接到其他三个顶点)同构的子图时,它才是平面的。

同构性(图论)

事实上,与K5或K3,3同构的图被称为Kuratowski子图。从Robertson-Seymour定理中得到的一个概括性结论是,对于每个整数g,都有一个有限的图形阻碍集例子在下面的例子中,图G和图H是同构的。如果G′是对G的外边进行细分而形成的图形,H′是对H的内边进行细分而形成的图形,那么G′和H′的图形画法相似。因此,G’和H’之间存在一个同构,即G和H是同构的。

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