范德波尔振荡器

在动力学中，范德波振振荡器是一种具有非线性阻尼的非保守振荡器。 它根据二阶微分方程随时间演化：

d 2 x d t 2 − μ ( 1 − x 2 ) d x d t + x = 0 , {displaystyle {d{2}x over dt{2}}-mu (1-x{2}){dx over dt}+x=0,}

其中 x 是位置坐标——它是时间 t 的函数，μ 是表示非线性和阻尼强度的标量参数。

范德波尔振动器最初是由荷兰电气工程师和物理学家 Balthasar van der Pol 在飞利浦工作时提出的。 Van der Pol 发现了稳定的振荡，他随后将其称为弛豫振荡，现在被称为采用真空管的电路中的一种极限循环。 当这些电路在极限周期附近被驱动时，它们会被夹带，即驱动信号会拉动电流。 Van der Pol 和他的同事 van der Mark 在 1927 年 9 月的《自然》杂志上报道说，在某些驱动频率下会听到不规则的噪音，后来发现这是确定性混沌的结果。

Van der Pol 方程在物理和生物科学中的使用历史悠久。 例如，在生物学中，Fitzhugh 和 Nagumo 将方程扩展到平面场中作为神经元动作电位的模型。 该方程还被用于地震学以模拟地质断层中的两个板块，并用于发声研究以模拟左右声带振荡器。

李纳德定理可以用来证明系统存在极限环。 应用 Liénard 变换 y = x − x 3 / 3 − x ˙ / μ {displaystyle y=x-x{3}/3-{dot {x}}/mu } ，其中点表示时间 导数，范德波振动积分器可以写成二维形式：

x ˙ = μ ( x − 1 3 x 3 − y ) {displaystyle {dot {x}}=mu left(x-{tfrac {1}{3}}x{3 }-yright)}y ˙ = 1 μ x {displaystyle {dot {y}}={frac {1}{mu }}x} .

另一种基于变换 y = x ˙ {displaystyle y={dot {x}}} 的常用形式导致：

x ˙ = y {displaystyle {dot {x}}=y}y ˙ = μ ( 1 − x 2 ) y − x {displaystyle {dot {y}}=mu (1 -x{2})y-x} 。

非受迫振荡器的特征有两个有趣的规律：

• 当 μ = 0，即没有阻尼函数时，方程变为：d 2 x d t 2 + x = 0。 {displaystyle {frac {d{2}x}{dt{2}}} +x=0.}这是简谐振子的一种形式，能量守恒。
• 当 μ > 0，系统将进入一个极限循环。 靠近原点x = dx/dt = 0，系统不稳定，远离原点，系统出现阻尼。
• 范德波尔振动器没有精确的解析解。 但是，如果Lienard方程中的f(x)是一个常数分段函数，那么对于极限环来说，这样的解确实存在。

还可以通过使用辅助二阶非线性微分方程将范德波尔振动器扩充为四维自主动力系统，为范德波振动器编写时间无关的哈密顿形式，如下所示：

x ¨ − μ ( 1 − x 2 ) x ˙ + x = 0 , {displaystyle {ddot {x}}-mu (1-x{2}){dot {x}}+ x=0,}y ¨ + μ ( 1 − x 2 ) y ˙ + y = 0. {displaystyle {ddot {y}}+mu (1-x{2}){dot {y}}+y=0。}

请注意，由于 x 和 y 变量的时间演化之间的单向耦合，原始范德波尔振动器的动力学不受影响。 该方程组的哈密顿量 H 可以表示为

H ( x , y , p x , p y ) = p x p y + x y − μ ( 1 − x 2 ) y p y , {displaystyle H(x,y,p_{x},p_{y})=p_{x}p_ {y}+xy-mu (1-x{2})yp_{y},}

其中 p x = y ˙ + μ ( 1 − x 2 ) y {displaystyle p_{x}={dot {y}}+mu (1-x{2})y} 和 p y = x ˙ {displaystyle p_{y}={dot {x}}} 是分别对应于 x 和 y 的共轭动量。 原则上，这可能会导致范德波尔振动器的量化。 这样的哈密顿量还将具有时间相关参数的极限环系统的几何相位与相应哈密顿量系统的汉内角联系起来。

强制或驱动的范德波尔振动器采用“原始”函数并添加驱动函数 Asin(ωt) 以给出以下形式的微分方程：

d 2 x d t 2 − μ ( 1 − x 2 ) d x d t + x − A sin ⁡ ( ω t ) = 0 , {displaystyle {d{2}x over dt{2}}-mu (1 -x{2}){dx over dt}+x-Asin(omega t)=0,}

其中 A 是波函数的振幅或位移，ω 是其角速度。

作者詹姆斯·格雷克 (James Gleick) 在 1987 年出版的《混沌：创造一门新科学》一书中描述了真空管范德波尔振动器。 根据《纽约时报》的一篇文章，格雷克在 1988 年收到了一位读者寄来的现代电子范德波振动器。