马蹄映射

在混沌理论的数学中，马蹄形映射是正方形到自身的一类混沌映射中的任何成员。 它是动力系统研究中的核心示例。 该图是斯蒂芬·斯梅尔 (Stephen Smale) 在研究范德波尔振荡器轨道行为时引入的。 地图的动作是通过挤压正方形，然后将结果拉伸成长条，最后将长条折叠成马蹄形来几何定义的。

大多数点最终在地图的作用下离开了正方形。 它们到达侧盖，在迭代过程中，它们将收敛到其中一个盖中的固定点。 在反复迭代下保留在正方形中的点形成分形集，是地图不变集的一部分。

马蹄图的挤压、拉伸和折叠是混沌系统的典型特征，但不是必要的，甚至是不充分的。

在马蹄图中，挤压和拉伸是均匀的。 它们相互补偿，使正方形的面积不变。 折叠整齐，可以简单描述永远留在广场上的轨道。

对于马蹄形地图：

• 有无数个周期轨道；
• 存在任意长周期的周期轨道；
• 周期轨道的数量随周期呈指数增长； 和
• 靠近分形不变量集的任何点都有一个周期轨道点。

马蹄形映射 f 是从平面的区域 S 定义到自身的微分同胚。 区域 S 是由两个半圆盘覆盖的正方形。 f {displaystyle f}（马蹄铁）的陪域是其定义域 S {displaystyle S} 的真子集。 f 的作用是通过三个几何定义的变换的组合来定义的。 首先，正方形沿垂直方向收缩一个因子 a <; 1/2。 盖子收缩，以便保持半圆盘附着在生成的矩形上。 以小于二分之一的系数收缩可确保马蹄铁的分支之间存在间隙。 接下来矩形被水平拉伸 1/a 倍； 上限保持不变。 最后将所得条带折叠成马蹄形并放回 S 中。

动态的有趣部分是正方形的图像本身。 一旦定义了该部分，就可以通过定义其在上限上的操作来将映射扩展为微分同胚。 使盖子收缩并最终映射到其中一个盖子（图中左侧的那个）内。 f 到 caps 的扩展为地图的非漫游集添加了一个固定点。 为了保持马蹄形地图类的简单，马蹄形的弯曲区域不应映射回正方形。

马蹄形映射是一对一的，这意味着当限制为 f 下 S 的图像时，存在逆 f−1。

通过以不同方式折叠收缩和拉伸的正方形，其他类型的马蹄形地图是可能的。

为确保地图保持一对一，收缩的正方形不得与自身重叠。 当正方形上的动作扩展到微分同胚时，扩展并不总是在平面上进行。 例如，右侧的地图需要通过使用环绕赤道的“帽”来扩展为球体的微分同胚。

马蹄形映射是 Axiom A 微分同胚，用作横向同宿点处一般行为的模型，其中周期点的稳定流形和不稳定流形相交。

马蹄形图旨在再现给定周期轨道附近流动的混沌动力学。 邻域选择为垂直于轨道的小圆盘。 随着系统的演化，这个圆盘中的点仍然靠近给定的周期轨道，追踪最终再次与圆盘相交的轨道。 其他轨道发散。

磁盘中所有轨道的行为可以通过考虑磁盘发生的情况来确定。 圆盘与给定周期轨道的交点在轨道的每个周期都回到自身，其附近的点也是如此。

当这个邻域返回时，它的形状会发生变化。 在回到圆盘内部的点中，有些点将离开圆盘附近，而另一些点将继续返回。 从不离开给定周期轨道邻域的点集形成分形。

可以为所有保留在邻域中的轨道赋予一个符号名称。 初始邻域盘可划分为少量区域。 了解轨道访问这些区域的顺序可以准确定位轨道。 轨道的访问序列提供了动力学的符号表示，称为符号动力学。