毛球定理

代数拓扑的毛球定理指出在偶数维 n 球面上不存在不消失的连续切向量场。 对于普通球体或 2 球体，如果 f 是一个连续函数，将 R3 中的向量分配给球体上的每个点 p，使得 f(p) 始终与球体在 p 处相切，则至少有一个 极点，场消失的点（p 使得 f(p) = 0）。

该定理已被通俗地表达为您不能在不产生牛皮的情况下将毛茸茸的球梳平，或者您不能将椰子上的头发梳理。

向量场的每个零点都有一个（非零）索引，可以证明所有零点处的所有索引之和必须为二，因为 2-球面的欧拉特征为二。 因此，必须至少有一个零。  在环面的情况下，欧拉特性为 0； 并且可以梳理毛茸茸的甜甜圈。 在这方面，它遵循任何具有非零欧拉特征的紧凑规则二维流形，任何连续切向量场至少有一个零。

计算机图形学中的一个常见问题是在 R3 中生成一个与给定非零向量正交的非零向量。 没有单一的连续函数可以对所有非零向量输入执行此操作。 这是毛球定理的推论。 要看到这一点，请将给定向量视为球体的半径，并注意找到一个与给定向量正交的非零向量等同于找到一个与该球体表面相切的非零向量，它接触到 半径。 然而，毛球定理表示不存在可以对球体上的每个点执行此操作的连续函数。

代数拓扑有一个密切相关的论证，使用 Lefschetz 不动点定理。通过对向量场积分，我们得到（至少 一小部分）球面上的单参数微分同胚群； 并且其中的所有映射都与身份同伦。 因此，他们也都拥有 Lefschetz 2 号。 因此它们有不动点。 需要做更多的工作来证明这意味着矢量场实际上必须为零。

毛球定理的一个结果是任何将偶数维球体映射到自身的连续函数都有一个不动点或一个映射到它自己的对映点的点。 这可以通过如下将函数转换为切向矢量场来看出。

令 s 为将球体映射到自身的函数，令 v 为要构造的切向向量函数。 对于每个点 p，构造以 p 为切点的 s(p) 的立体投影。 那么v(p)就是这个投影点相对于p的位移矢量。 根据毛球定理，存在一个 p 使得 v(p) = 0，因此 s(p) = p。

仅当存在点 p 且 s(p) 是 p 的对映点时，该论点才会失效，因为这样的点是xxx不能立体投影到 p 的切平面上的点。

进一步的推论是任何偶数维射影空间都具有不动点性质。 这是通过将 R P 2 n 的连续函数提升到自身到 S 2 n 的函数到自身的先前结果得出的。

与欧拉特征 χ 的联系表明了正确的概括：对于 n ≥ 1，2n 球没有非零矢量场。偶数和奇数维度之间的区别在于，因为 m 球的xxx非零 Betti 数是 b0和bm，它们的交替和χ对于m偶数为2，对于m奇数为0。

事实上，通过考虑周围偶数维欧几里德空间 R 2 n 成对。 即，可以通过指定向量场 v : R 2 n → R 2 n