压缩感知
目录
压缩感知
压缩感知（也称为压缩感知、压缩采样或稀疏采样）是一种信号处理技术，用于通过寻找欠定线性系统的解来有效地获取和重建信号。 这是基于这样的原则，即通过优化，可以利用信号的稀疏性从远少于奈奎斯特-香农采样定理所需的样本中恢复信号。 有两种情况可以恢复。 xxx个是稀疏性，它要求信号在某个域内是稀疏的。 第二个是非相干性，它通过等距特性来应用，这对于稀疏信号来说已经足够了。
概览
信号处理工程领域的一个共同目标是从一系列采样测量中重建信号。 通常，这项任务是不可能完成的，因为在未测量信号期间无法重建信号。 然而，根据关于信号的先验知识或假设，事实证明可以从一系列测量中完美地重建信号（获取这一系列测量称为采样）。 随着时间的推移，工程师们对哪些假设是可行的以及如何推广它们有了更好的理解。
信号处理的早期突破是奈奎斯特-香农采样定理。 它指出，如果一个真实信号的最高频率小于采样率的一半，那么可以通过 sinc 插值完美地重构信号。 主要思想是，利用有关信号频率约束的先验知识，重建信号所需的样本更少。
历史
压缩感知依赖于 L 1 {displaystyle L{1}} 技术，其他几个科学领域在历史上也使用过这种技术。 在统计学中，最小二乘法由拉普拉斯引入的 L 1 {displaystyle L{1}} -范数补充。 随着线性规划和 Dantzig 单纯形算法的引入，L 1 {displaystyle L{1}} -范数被用于计算统计。 在统计理论中，L 1 {displaystyle L{1}} -norm 被 George W. Brown 和后来的作者用于中值无偏估计量。 它被 Peter J. Huber 和其他致力于稳健统计的人使用。
乍一看，压缩感知似乎违反了采样定理，因为压缩感知取决于所讨论信号的稀疏性，而不是其最高频率。 这是一个误解，因为抽样定理保证在给定充分而非必要条件的情况下完美重建。 与经典固定速率采样根本不同的采样方法不能违反采样定理。 与传统的固定速率采样相比，使用压缩传感可以对具有高频分量的稀疏信号进行高度欠采样。
方法
欠定线性系统
欠定的线性方程组比方程具有更多的未知数，并且通常具有无限多的解。 
为了为这样的系统选择解决方案，必须酌情施加额外的约束或条件（例如平滑度）。 在压缩感知中，增加了稀疏性约束，只允许具有少量非零系数的解。 并非所有欠定的线性方程组都有稀疏解。 然而，如果欠定系统有xxx的稀疏解，则压缩感知框架允许恢复该解。
解决/重构方法
压缩感知利用了许多有趣信号中的冗余——它们不是纯噪声。 特别是，许多信号是稀疏的，也就是说，当在某个域中表示时，它们包含许多接近或等于零的系数。 这与许多形式的有损压缩中使用的见解相同。