几何不稳定性

在凝聚态物理学中，术语几何挫折（或简称：挫折）指的是一种现象，其中原子倾向于粘附在非平凡的位置，或者在规则的晶格上，相互冲突的原子间力（每个原子力都倾向于相当简单的 ，但不同的结构）导致相当复杂的结构。 由于几何或力的受挫，在零温度下可能会产生大量不同的基态，而在较高温度下可能会抑制通常的热排序。 许多研究的例子是非晶材料、玻璃或稀磁铁。

Gerard Toulouse 于 1977 年在磁系统的背景下引入了挫折一词。甚至在此之前就已经研究了挫折磁系统。 早期工作包括 G. H. Wannier 在 1950 年发表的具有最近邻自旋反铁磁耦合的三角晶格 Ising 模型的研究。相关特征出现在具有竞争相互作用的磁体中，其中自旋对之间的铁磁耦合和反铁磁耦合 或磁矩存在，相互作用的类型取决于自旋的分离距离。 在那种情况下，可能会产生可公度性，例如螺旋自旋排列，正如 A. Yoshimori、T. A. Kaplan、R. J. Elliott 等人最初讨论的那样，尤其是从 1959 年开始，描述稀土金属的实验发现。 大约二十年后，从 1970 年xxx始，在自旋玻璃和空间调制磁性超结构的背景下，人们对这种具有受阻或竞争相互作用的自旋系统重新产生了兴趣。 在自旋玻璃中，相互作用中的随机无序增加了挫败感，这在实验上可能发生在非化学计量磁性合金中。 仔细分析的自旋模型令人沮丧，包括描述自旋玻璃的 Sherrington-Kirkpatrick 模型和描述可公度磁性超结构的 ANNNI 模型。 最近，挫折的概念已被用于脑网络分析，以识别神经连接的重要组合并突出大脑的可调节元素。

几何不稳定是磁性的一个重要特征，它源于自旋的相对排列。三个磁性离子位于三角形的角上，它们之间存在反铁磁相互作用； 当每个自旋与相邻自旋相对时，能量最小化。 一旦前两个自旋反平行对齐，第三个自旋就会受挫，因为它的两个可能方向，向上和向下，提供相同的能量。 第三次旋转不能同时最小化它与其他两次的相互作用。 由于每次自旋都会发生这种效应，因此基态会退化六倍。 只有所有自旋都向上或向下的两种状态才有更多的能量。

类似地，在三维空间中，排列在四面体中的四个自旋可能会遇到几何挫折。 如果自旋之间存在反铁磁相互作用，则不可能安排自旋以使自旋之间的所有相互作用都是反平行的。 有六个最近邻相互作用，其中四个是反平行的，因此是有利的，但其中两个（在 1 和 2 之间，以及在 3 和 4 之间）是不利的。 不可能让所有交互都有利，而且系统会受挫。

如果自旋以非共线方式排列，则也可能出现若干不稳定。 如果我们考虑一个四面体，每个顶点都有一个自旋指向易轴（即，直接朝向或远离四面体的中心），那么可以安排四个自旋，使得没有净自旋。这完全等同于每对自旋之间存在反铁磁相互作用，因此在这种情况下不存在几何挫折。

对于这些轴，如果相邻轴之间存在铁磁相互作用，就会出现几何挫折，平行自旋会使能量最小化。 最佳可能的排列如图 4 所示，两个自旋指向中心，两个指向外。 净磁矩指向上方，使该方向的铁磁相互作用最大化，但左右矢量相互抵消（即反铁磁排列），前后方向也是如此。 存在三个不同的等效排列，其中两个自旋出来，两个自旋进入，因此基态是三倍简并的。

数学定义很简单（类似于量子色动力学中所谓的威尔逊环）：例如考虑以下形式的表达式（总能量或哈密顿量）