格罗斯–皮塔耶夫斯基方程

格罗斯–皮塔耶夫斯基方程序（GPE，以 Eugene P. Gross 和 Lev Petrovich Pitaevskii 的名字命名）使用 Hartree–Fock 近似和赝势相互作用模型描述了相同玻色子的量子系统的基态。

玻色-爱因斯坦凝聚 (BEC) 是处于相同量子态的玻色子的气体，因此可以用相同的波函数来描述。 自由量子粒子由单粒子薛定谔方程描述。 相关的多体薛定谔方程考虑了真实气体中粒子之间的相互作用。 在 Hartree–Fock 近似中，N {\displaystyle N} 玻色子系统的总波函数 ψ {\displaystyle \Psi } 被视为单粒子函数 ψ {\displaystyle \ psi } : Ψ ( r 1 , r 2 , … , r N ) = ψ ( r 1 ) ψ ( r 2 ) … ψ ( r N ) , {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{ 1},\mathbf {r} _{2},\点 ,\mathbf {r} _{N})=\psi (\mathbf {r} _{1})\psi ( mathbf {r} _{2})\dots \psi (\mathbf {r} _{N}),} 其中 r i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}} 是坐标 第 i {\displaystyle i} 个玻色子。 如果气体中粒子之间的平均间距大于散射长度（即，在所谓的稀释极限内），则可以用赝势近似表示该方程中的真实相互作用势。 在足够低的温度下，德布罗意波长远长于玻色子-玻色子相互作用的范围，散射过程可以很好地近似为 s 波散射（即 ℓ = 0 {\displaystyle \ell =0} 在分波分析中，也就是硬球势）项。 其中 m {\displaystyle m} 是玻色子的质量，V {\displaystyle V} 是外势， a s {\displaystyle a_{s}} 是玻色子-玻色子 s 波散射长度，而 δ ( r ) {\displaystyle \delta (\mathbf {r} )} 是狄拉克 delta 函数。

GPE 是玻色-爱因斯坦凝聚体中基态单粒子波函数的模型方程。 它在形式上类似于 Ginzburg–Landau 方程，有时也称为非线性薛定谔方程。

格罗斯–皮塔耶夫斯基方法的非线性起源于粒子间的相互作用：将格罗斯–皮塔耶夫斯基方法中相互作用的耦合常数设置为零（见下文 部分）恢复描述捕获势内粒子的单粒子薛定谔方程。

据说 Gross-Pitaevskii 方程仅限于弱相互作用状态。 然而，即使在这种制度下，它也可能无法重现有趣的现象。 为了研究超出弱相互作用限制的 BEC，需要实施 Lee-Huang-Yang (LHY) 校正。 或者，在一维系统中，可以使用精确方法，即 Lieb-Liniger 模型，或扩展方程，例如 Lieb-Liniger Gross-Pitaevskii 方程（有时称为修正或广义非线性薛定谔方程）。

该方程具有薛定谔方程的形式，并添加了一个交互项。 耦合常数 g {\displaystyle g} 与两个相互作用玻色子的 s 波散射长度 as {\displaystyle a_{s}} 成正比：

g = 4 π ℏ 2 a s m , {\displaystyle g={\frac {4\pi \hbar {2}a_{s}}{m}},}

其中 ℏ {\displaystyle \hbar } 是约化普朗克常数，m {\displaystyle m} 是玻色子的质量。

其中 Ψ {\displaystyle \Psi } 是波函数或阶参数，而 V {\displaystyle V} 是外电位。