漂移–扩散方程

对流-扩散方程是扩散和对流（平流）方程的组合，描述了粒子、能量或其他物理量由于扩散和对流这两个过程而在物理系统内传输的物理现象。 根据上下文，同一个方程可以称为对流扩散方程、漂移扩散方程或（通用的）标量传输方程。

一般方程是 ∂ c ∂ t = ∇ ⋅ ( D ∇ c ) − ∇ ⋅ ( v c ) + R

c 是感兴趣的变量（传质的物质浓度，传热的温度），

• D 是扩散率（也称为扩散系数），例如粒子运动的质量扩散率或热传输的热扩散率，
• v 是数量移动的速度场。 它是时间和空间的函数。 例如，在平流中，c 可能是河流中的盐分浓度，然后 v 是水流速度随时间和位置的变化。 另一个例子，c 可能是平静湖中小气泡的浓度，然后 v 将是气泡通过浮力（见下文）上升到表面的速度，具体取决于气泡的时间和位置。 对于多相流和多孔介质中的流动，v 是（假设的）表观速度。
• R 描述了数量 c 的源或汇。 例如，对于化学物质，R＞； 0 表示化学反应正在产生更多的物质，R <; 0 表示化学反应正在破坏物种。 对于热传输，R > 如果摩擦产生热能，则可能出现 0。
• ∇ 代表梯度，∇ ⋅ 代表散度。 式中，∇c表示浓度梯度。

等式的右边是三个贡献的总和。

• xxx个，∇ ⋅ (D∇c)，描述扩散。 想象一下，c 是一种化学物质的浓度。 当某处的浓度与周围区域相比较低时（例如局部最小浓度），该物质将从周围扩散进来，因此浓度会增加。 相反，如果与周围环境相比浓度较高（例如局部xxx值），则物质会扩散出去，浓度会降低。 如果扩散系数 D 为常数，则净扩散与浓度的拉普拉斯算子（或二阶导数）成正比。
• 第二个贡献，−∇ ⋅ (vc)，描述了对流（或平流）。 想象一下站在河岸上，每秒测量水的盐度（含盐量）。 在上游，有人将一桶盐倒入河中。 过了一会儿，当咸水区经过时，你会看到盐度突然上升，然后下降。 因此，给定位置的浓度会因流量而改变。
• 最后的贡献，R，描述了数量的创造或破坏。 例如，如果 c 是分子的浓度，则 R 描述了分子如何通过化学反应产生或破坏。 R 可以是 c 和其他参数的函数。 通常有几个量，每个量都有自己的对流扩散方程，其中一个量的破坏需要创建另一个量。 例如，甲烷燃烧时，不仅会破坏甲烷和氧气，还会产生二氧化碳和水蒸气。 因此，虽然这些化学物质中的每一种都有自己的对流扩散方程，但它们耦合在一起，必须作为联立微分方程组求解。

在常见情况下，扩散系数恒定，没有源或汇，速度场描述不可压缩流（即，它具有零发散）。 则公式简化为： ∂ c ∂ t = D ∇ 2 c − v ⋅ ∇ c 。

在这种形式中，对流扩散方程结合了抛物线和双曲线偏微分方程。

在非相互作用材料中，D=0（例如，当温度接近xxx零时，稀释气体的质量扩散率几乎为零），因此传输方程很简单：∂c∂t+v⋅∇c=0。

在时间域和空间域中使用傅里叶变换，可得其特征方程： j ω c ~ + v ⋅ j k c ~ = 0 → ω = − k 。