伯格斯方程

伯格斯方程或贝特曼-伯格斯方程是一个基本的偏微分方程和对流-扩散方程，出现在应用数学的各个领域，例如流体力学、非线性声学、气体动力学和交通流。

对于给定的场 u ( x , t ) 和扩散系数（或运动粘度，如在原始流体力学上下文中） ν ，一般形式 伯格斯方程（也称为粘性伯格斯方程）在一维空间中的耗散系统是： ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x = ν ∂ 2 u ∂ x 2 。

当扩散项不存在时，伯格斯方程变为无粘伯格斯方程： ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x = 0 , 这是守恒方程的原型 会产生不连续性（冲击波）。 前面的等式是伯格斯方程的平流形式。 发现保守形式在数值积分 ∂ u ∂ t + 1 2 ∂ ( u 2 ) ∂ x = 0 时更有用。

粘度是流体的恒定物理特性，其他参数表示取决于该粘度的动力学。

无粘伯格斯方程是一个守恒方程，更一般地说是一阶拟线性双曲方程。 方程的解以及初始条件 ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x = 0 , u ( x , 0 ) = f ( x ) 可以通过以下方法构造 特征。

这是一个隐式关系，它决定了无粘性伯格斯方法的解，前提是特征不相交。 如果特征相交，则 PDE 的经典解不存在并导致冲击波的形成。 特征能否相交取决于初始条件。

这个解也是无粘性伯格斯方程序的完全积分，因为它包含的任意常数与方程中出现的自变量的数量一样多。