对偶范数
目录
对偶范数
在泛函分析中，对偶范数是在赋范向量空间上定义的连续线性函数的大小度量。
定义
常数 0 {displaystyle 0} 映射是向量空间 X ∗ {displaystyle X{*}} 的原点，它总是有范数 ‖ 0 ‖ = 0。 {displaystyle |0| =0.} 如果 X = { 0 } {displaystyle X={0}} 那么 X {displaystyle X} 上xxx的线性泛函是常量 0 {displaystyle 0} 映射等等 ，最后两行中的集合都将为空，因此，
对偶范数是为赋范向量空间之间的每个（有界）线性映射定义的运算符范数的特例。
由‖ ⋅ ‖ {displaystyle |cdot |} 诱导的 X ∗ {displaystyle X{*}} 上的拓扑结果与 X ∗ 上的弱*拓扑一样强。 {displaystyle X{*}.}
如果 X {displaystyle X} 的基域是完备的，则 X ∗ {displaystyle X{*}} 是巴拿赫空间。
赋范线性空间的双对偶
映射 φ {displaystyle varphi } 是线性的、单射的和距离保持的。 特别地，如果 X {displaystyle X} 是完备的（即 Banach 空间），那么 φ {displaystyle varphi } 是 X 的一个封闭子空间的等距
一般来说，映射 φ {displaystyle varphi } 不是满射的。 例如，如果 X {displaystyle X} 是 Banach 空间 L ∞ {displaystyle L{infty }} 由具有上确范数的实线上的有界函数组成，则映射 φ {displaystyle varphi } 不是满射的。 （参见 L p {displaystyle L{p}} 空间）。 如果 φ {displaystyle varphi } 是满射，则 X {displaystyle X} 被称为自反巴拿赫空间。 如果 1 < p < ∞ , {displaystyle 1<p<infty ,} 那么空间 L p {displaystyle L{p}} 是自反巴拿赫空间。
例子
矩阵的偶数
谱范数是 p = 2 {displaystyle p=2} 时导出范数的一个特例，由矩阵的xxx奇异值定义。