多维采样

在数字信号处理中，多维采样是将一个多维变量的函数转换为该函数在离散点集上的测量值的离散集合的过程。本文介绍了Petersen和Middleton的基本结果，即从离散点阵上的测量结果中完美重建一个文数限制的函数的条件。

这个结果也被称为Petersen-Middleton定理，是Nyquist-Shannon抽样定理的概括，用于将一维带限函数抽样到高维欧几里得空间。

实质上，Petersen-Middleton定理表明，只要格子足够细，一个文数限制的函数可以从它在无限的格子上的值中完美地重建出来。

该定理提供了格子上的条件，在这些条件下，完美重建是可能的。与Nyquist-Shannon抽样定理一样，该定理也假定了任何现实世界情况的理想化，因为它只适用于在无限多的点上抽样的函数。

对于理想化的模型来说，完美的重建在数学上是可能的，但对于现实世界的函数和抽样技术来说，只是一个近似值，尽管在实践中往往是一个非常好的近似值。

一维的带限函数的概念可以概括为高维的文数限函数的概念。回顾一下，一个可整定函数的傅里叶变换f(⋅){displaystylef(⋅cdot)}在n维欧几里得上的傅里叶变换。

在n维欧几里得空间上的定义为。二维空间的采样格子的一个例子是图1中描述的六边形格子。相应的倒数格子在图2中显示。二维空间中正方形格子的倒数格子是另一个正方形格子。

在三维空间中，面心立方(FCC)格子的互换格子是体心立方(BCC)格子。