劳斯–赫尔维茨稳定性判据

在控制系统理论中，劳斯-赫尔维茨稳定性判据是一种数学检验，是线性时不变 (LTI) 动力系统或控制系统稳定性的充分必要条件。 一个稳定的系统是一个输出信号有界的系统； 随着时间的推移，位置、速度或能量不会增加到无穷大。 劳斯检验是英国数学家爱德华·约翰·劳斯于1876年提出的一种高效递归算法，用于判断线性系统的特征多项式的所有根是否都具有负实部。 德国数学家Adolf Hurwitz于1895年独立提出将多项式的系数排列成方阵，称为Hurwitz矩阵，并证明多项式稳定当且仅当其主子矩阵的行列式序列均为正。 这两个过程是等效的，与直接计算相比，Routh 检验提供了一种更有效的方法来计算 Hurwitz 行列式 ( Δ i {displaystyle Delta _{i}} )。 满足 Routh-Hurwitz 准则的多项式称为 Hurwitz 多项式。

该准则的重要性在于，具有负实部的线性系统的特征方程的根 p 代表系统稳定（有界）的解 ept。 因此，该准则提供了一种方法来确定线性系统的运动方程是否只有稳定解，而无需直接求解系统。 对于离散系统，相应的稳定性检验可以采用 Schur-Cohn 准则、Jury 检验和 Bistritz 检验。 随着计算机的出现，该标准已变得不那么广泛使用，因为替代方法是通过数值方式求解多项式，直接获得根的近似值。

Routh 检验可以通过使用欧几里德算法和 Sturm 定理来评估 Cauchy 指数。 赫尔维茨以不同的方式得出他的条件。

根据代数基本定理，每个 n 次多项式在复平面上必须有 n 个根（即，对于在虚线上没有根的 ƒ，p + q = n）。 因此，我们的条件是 ƒ 是 (Hurwitz) 稳定多项式当且仅当 p − q = n（证明在下面给出）。 使用 Routh–Hurwitz 定理，我们可以用广义 Sturm 链上的条件替换 p 和 q 上的条件，这将反过来给出 ƒ 系数的条件。

• 计算与 P 0 ( y ) {displaystyle P_{0}(y)} 和 P 1 ( y ) {displaystyle P_{1}(y)} 相关联的西尔维斯特矩阵。
• 重新排列每一行，使奇数行和下一行具有相同数量的前导零。
• 计算该矩阵的每个主要次要。
• 如果至少有一个次要项为负（或零），则多项式 f 不稳定。