稳定多项式

在微分方程或差分方程的特征多项式的上下文中，如果满足以下任一条件，则称多项式是稳定的：

• 它的所有根都在左开半平面上，或者
• 它的根源在于开单位盘。

xxx个条件为连续时间线性系统提供稳定性，第二个条件与离散时间线性系统的稳定性有关。 具有xxx个性质的多项式有时称为 Hurwitz 多项式，具有第二个性质的多项式有时称为 Schur 多项式。 定多项式出现在控制理论和微分方程和差分方程的数学理论中。 如果每个有界输入产生有界输出，则称线性时不变系统（参见 LTI 系统理论）是 BIBO 稳定的。 如果特征多项式稳定，则线性系统是 BIBO 稳定的。 如果系统处于连续时间，则要求分母是 Hurwitz 稳定的；如果系统处于离散时间，则要求分母是 Schur 稳定的。 在实践中，稳定性是通过应用几种稳定性标准中的任何一种来确定的。

• Routh-Hurwitz 定理提供了一种算法，用于确定给定多项式是否是 Hurwitz 稳定的
• 要测试给定的多项式 P（d 次）是否是 Schur 稳定的，只需将此定理应用于变换后的多项式

Q ( z ) = ( z − 1 ) d P ( z + 1 z − 1 )

在莫比乌斯变换后得到 z ↦ z + 1 z − 1

其中 将左半平面映射到开单位圆盘：当且仅当 Q 是 Hurwitz 稳定且 P ( 1 ) ≠ 0

时 P 是 Schur 稳定的。 对于更高阶的多项式，可以通过 Schur-Cohn 测试、Jury 测试或 Bistritz 测试来测试 Schur 稳定性，从而避免此映射中涉及的额外计算。

• 必要条件：Hurwitz 稳定多项式（具有实系数）具有相同符号的系数（全部为正或全部为负）。
• 充分条件：多项式 f ( z ) = a 0 + a 1 z + ⋯ + a n z n 具有（实数）系数使得

一个 n > 一个 n – 1 > ⋯ > 0＞ 0 , 是 Schur 稳定的。

• 乘积规则：当且仅当乘积 fg 稳定时，两个多项式 f 和 g 是稳定的（同一类型）。
• Hadamard 乘积：两个 Hurwitz 稳定多项式的 Hadamard（系数方面）乘积再次是 Hurwitz 稳定的。