反褶积
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反褶积
在数学中，去卷积是与卷积相反的操作。这两种运算都用于信号处理和图像处理。例如，通过使用具有一定精度的去卷积方法，可以恢复滤波（卷积）后的原始信号。由于记录信号或图像的测量误差，可以证明信噪比越差，反褶积就越差；因此，反褶积并不总是一个好的解决方案，因为误差会放大。反褶积为这个问题提供了一个解决方案。
描述
一般来说，去卷积的目的是为了找到形式为卷积方程的解f。
f∗g=h {displaystyle f*g=h,}。
通常，h是一些记录的信号，f是一些我们希望恢复的信号，但在我们记录它之前，已经用滤波器或失真函数g卷积了。通常，h是f的失真版本，f的形状不容易被眼睛或更简单的时域操作所识别。函数g代表仪器的脉冲响应或施加在物理系统上的驱动力。如果我们知道g，或者至少知道g的形式，那么我们就可以进行确定性的去卷积。然而，如果我们事先不知道g，那么我们就需要估计它。这可以用统计估计的方法或建立基础系统的物理原理来完成，如电路方程或扩散方程。
有几种去卷积技术，取决于测量误差和去卷积参数的选择。在物理测量中，情况通常更接近于
在这种情况下，ε是进入我们记录信号的噪声。如果一个有噪声的信号或图像被假定为无噪声，那么对g的统计估计将是不正确的。反过来，对ƒ的估计也将是不正确的。信噪比越低，对解离信号的估计就越差。这就是为什么对信号进行反滤波通常不是一个好的解决方案。然而，如果至少对数据中的噪声类型有一定的了解（例如，白噪声），就可以通过维纳去卷积等技术来改进对ƒ的估计。
当测量误差很低时（理想情况），反褶积（原始）会塌陷成滤波反转。原始去卷积可以在拉普拉斯域进行。通过计算记录信号h和系统响应函数g的傅里叶变换，你可以得到H和G，G是传递函数。所以求解F。
F = H / G {displaystyle F=H/G,}
最后，对函数F进行反傅里叶变换，以找到估计的解消信号f。注意，G在分母处，如果存在的话，可以放大误差模型的元素。
应用
解卷积的概念在反射地震学上有一个早期应用。1950年，Enders Robinson是麻省理工学院的一名研究生。他与麻省理工学院的其他人，如Norbert Wiener、Norman Levinson和经济学家Paul Samuelson合作，开发了反射地震图的卷积模型。这个模型假设记录的地震图s(t)是地球反射率函数e(t)和来自点源的地震小波w(t)的卷积，其中t代表记录时间。
地震学家对e感兴趣，它包含关于地球结构的信息。
在频域中，其中ω { displaystyle omega }是频率变量。通过假设反射率是白色的，我们可以假设反射率的功率谱是常数，而地震图的功率谱是小波的频谱乘以该常数。
如果我们假设小波是最小相位的，我们可以通过计算刚才找到的功率谱的最小相位等值来恢复它。反射性可以通过设计和应用维纳滤波器来恢复，该滤波器将估计的小波塑造为狄拉克三角函数（即尖峰）。