无迹变换

无味变换 (UT) 是一种数学函数，用于估计将给定的非线性变换应用于概率分布的结果，该概率分布仅根据有限的统计集进行表征。 无味变换最常见的用途是在卡尔曼滤波器非线性扩展的情况下对均值和协方差估计值进行非线性投影。

许多过滤和控制方法以均值向量和相关误差协方差矩阵的形式表示对系统状态的估计。 例如，感兴趣对象的估计二维位置可能由平均位置向量 [ x , y ] {displaystyle [x,y]} 表示，不确定性以 2×2 的形式给出 协方差矩阵给出 x {displaystyle x} 的方差，y {displaystyle y} 的方差，以及两者之间的交叉协方差。 协方差为零意味着不存在不确定性或错误，并且对象的位置正是均值向量指定的位置。

均值和协方差表示仅给出潜在但未知的概率分布的前两个矩。 在移动物体的情况下，未知概率分布可能表示物体在给定时间位置的不确定性。 不确定性的均值和协方差表示在数学上很方便，因为任何线性变换 T {displaystyle T} 都可以应用于均值向量 m {displaystyle m} 和协方差矩阵 M {displaystyle M} 作为 T m { displaystyle Tm} 和 T M T T {displaystyle TMT{mathrm {T} }} 。 这种线性特性不适用于超过xxx个原始矩（均值）和第二个中心矩（协方差）的矩，因此通常不可能确定非线性变换产生的均值和协方差，因为结果取决于所有 的时刻，只有前两个给出。

尽管协方差矩阵通常被视为与均值相关的预期平方误差，但在实践中，该矩阵被保持为实际平方误差的上限。 具体来说，保守地维护均值和协方差估计 ( m , M ) {displaystyle (m,M)} 以便协方差矩阵 M {displaystyle M} 大于或等于与 m 相关的实际平方误差 {displaystyle m} 。 从数学上讲，这意味着从 M {displaystyle M} 中减去预期平方误差（通常未知）的结果是一个半定或正定矩阵。 保持保守的协方差估计的原因是如果协方差被低估，大多数过滤和控制算法将倾向于发散（失败）。 这是因为虚假的小协方差意味着更少的不确定性，并导致过滤器放置比均值准确性合理的权重（置信度）。

回到上面的例子，当协方差为零时，根据任意非线性函数 f ( x , y ) {displaystyle f(x,y)} 确定物体移动后的位置是微不足道的：只需应用 均值向量的函数。 当协方差不为零时，变换后的均值通常不会等于 f ( x , y ) {displaystyle f(x,y)} 并且甚至不可能仅从其 先验均值和协方差。 鉴于这种不确定性，非线性变换的均值和协方差只能近似计算。 最早的近似是将非线性函数线性化，并将得到的雅可比矩阵应用于给定的均值和协方差。 这是扩展卡尔曼滤波器 (EKF) 的基础，虽然众所周知它在许多情况下会产生糟糕的结果，但几十年来一直没有实用的替代方案。