旋转体

在几何学中，旋转立体是通过将平面图形绕位于同一平面上的某条直线（旋转轴）旋转而得到的立体图形。 由这个xxx创造的并且限制固体的表面是xxx的表面。

假设曲线不与轴相交，则实体的体积等于图形质心所描述的圆的长度乘以图形的面积（帕普斯第二质心定理）。

代表性圆盘是旋转体的三维体积元素。 该元素是通过绕某个轴（距离 r 个单位）旋转一条线段（长度为 w）来创建的，因此包含一个 πr2w 个单位的圆柱体。

求旋转体体积的两种常用方法是圆盘积分法和壳积分法。 要应用这些方法，最简单的方法是绘制有问题的图形； 确定要围绕旋转轴旋转的区域； 确定厚度为 δx 的圆盘形固体切片或宽度为 δx 的圆柱壳的体积； 然后找到当 δx 接近 0 时这些体积的极限和，该值可以通过评估合适的积分找到。 通过尝试评估具有两个不同积分阶数的圆柱坐标系中的三重积分，可以给出更严格的理由。

当曲线由其参数形式 (x(t),y(t)) 在某个区间 [a,b] 中定义时，通过围绕 x 轴或 y 轴旋转曲线生成的固体的体积是 由

V x = ∫ a b π y 2 d x d t d t , {displaystyle V_{x}=int _{a}{b}pi y{2},{frac {dx}{dt}} ,dt,