有限加权图上的微积分

在数学中，有限加权图上的微积分是一种函数的离散微积分，其域是一个具有有限数量顶点和与边相关的权重的图的顶点集。这涉及到在图上制定类似于微积分中微分算子的离散算子，如图拉普拉斯算子（或离散拉普拉斯算子）作为拉普拉斯的离散版本，并使用这些算子来制定图上的微分方程、差分方程或变分模型，可以被解释为偏微分方程或连续变分模型的离散版本。这种方程和模型是许多不同研究领域中对离散信息进行数学建模、分析和处理的重要工具，例如图像处理、机器学习和网络分析。在应用中，有限加权图通过图的顶点表示有限数量的实体，通过图的边表示这些实体之间的任何配对关系，通过边的权重函数表示关系的重要性。这种图上的微分方程或差分方程可以被用来利用图的结构来完成一些任务，如图像分割（其中顶点代表像素，加权边缘根据摩尔邻域或更大窗口的比较来编码像素的相似性）、数据聚类、数据分类或社交网络中的社区检测（其中顶点代表网络中的用户，边缘代表用户之间的联系，而权重函数表示用户之间互动的强度）。有限加权图的主要优点是，由于不受限于高度规则的结构，如离散的规则网格、格子图或网格，它们可以被应用于表示具有不规则相互关系的抽象数据。

如果一个有限加权图在几何上嵌入欧几里得空间，即图的顶点代表这个空间的点，那么它可以被解释为连续环境中相关非局部算子的离散近似。基本定义一个有限加权图{displaystylewcolonErightarrowmathbb{R}是定义在一个边上的权重函数。｝是一个定义在图的边上的边重函数。在一个有向图中，每条边通常代表给定数据中的一个实体，例如，有限数据集的元素，图像中的像素，或社交网络中的用户。图边代表两个实体之间的关系，例如成对的互动或基于几何邻域（例如图像中的像素）或其他特征的比较的相似性，边的权重编码这种关系的强度。大多数常用的权重函数被归一化，映射为0和1之间的值。