Rosenbrock函数

在数学优化中，Rosenbrock 函数是一个非凸函数，由 Howard H. Rosenbrock 于 1960 年引入，用作优化算法的性能测试问题。 它也被称为罗森布罗克谷或罗森布罗克香蕉函数。

全局最小值位于一个狭长的抛物线形平坦山谷内。 找到山谷是微不足道的。 然而，要收敛到全局最小值是困难的。

只有在 a = 0 {displaystyle a=0} 的平凡情况下，函数是对称的并且最小值在原点。

通常会遇到两种变体。

该变体具有可预测的简单解决方案。

 这个结果是通过将函数的梯度设置为零获得的，注意所得方程是 x {displaystyle x} 的有理函数。 对于小的 N {displaystyle N} 多项式可以精确确定，Sturm’s 定理可以用来确定实根的数量，而根可以限制在 | 的区域中 xi | < 2.4 {displaystyle |x_{i}|<2.4} 。 对于较大的 N {displaystyle N} 此方法因涉及的系数大小而失效。

绘制时，函数的许多固定点都呈现出规则的模式。 可以利用此结构来定位它们。

Rosenbrock 函数可以通过采用适当的坐标系进行有效优化，无需使用任何梯度信息，也无需构建局部近似模型（与许多无导数优化器相反）。  函数值为 10 − 10 {displaystyle 10{-10}} 的解可以在 325 次函数求值后找到。