四元数与空间旋转

单位四元数，称为 versors，提供了一种方便的数学符号，用于表示三维空间中元素的空间方向和旋转。 具体来说，它们对关于任意轴的轴角旋转的信息进行编码。 旋转和方向四元数在计算机图形学、计算机视觉、机器人学、导航、分子动力学、飞行动力学、卫星轨道力学和晶体结构分析中都有应用。

当用于表示旋转时，单位四元数也称为旋转四元数，因为它们表示 3D 旋转组。 当用于表示方向（相对于参考坐标系的旋转）时，它们被称为方向四元数或姿态四元数。

与旋转矩阵相比，四元数更紧凑、高效且数值稳定。 与欧拉角相比，它们的构成更简单。 然而，它们并不那么直观和易于理解，并且由于正弦和余弦的周期性，自然周期精确不同的旋转角度将被编码为相同的四元数

在三维空间中，根据欧拉旋转定理，刚体或坐标系绕固定点的任何旋转或旋转序列等同于给定角度 θ {displaystyle theta } 关于穿过固定点的固定轴（称为欧拉轴）。 因此，任何三维旋转都可以表示为向量 u→ 和标量 θ {displaystyle theta } 的组合。

四元数提供了一种用四个数字对轴角表示进行编码的简单方法，并且可用于将相应的旋转应用（计算）到位置向量 (x,y,z)，表示相对于 R3 中原点的点。

使用哈密顿积，其中 p’ = (px’, py’, pz’) 是旋转后点的新位置向量。 在编程实现中，共轭是通过构建向量部分为 p 且实部为零的四元数，然后执行四元数乘法来实现的。 所得四元数的向量部分是所需的向量 p’。

独立于四元数的几何事实是存在从物理旋转到旋转变换矩阵的二对一映射。

通过将这些向量和角度插入到上面 q 的公式中，可以发现如果 q 表示xxx次旋转，-q 表示第二次旋转。