布劳威尔不动点定理
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布劳威尔不动点定理
Brouwer不动点定理是拓扑学中的不动点定理，以L. E. J. (Bertus) Brouwer命名。 它指出对于任何将紧凸集映射到自身的连续函数 f {displaystyle f} 都有一个点 x 0 {displaystyle x_{0}} 使得 f ( x 0 ) = x 0 {displaystyle f(x_{0})=x_{0}} 。 Brouwer 定理的最简单形式是连续函数 f {displaystyle f} 从实数的闭区间 I {displaystyle I} 到它本身或从闭盘 D {displaystyle D} 到 本身。 比后者更一般的形式是从欧几里德空间的凸紧子集 K {displaystyle K} 到其自身的连续函数。
在数百个不动点定理中，Brouwer’s 尤其广为人知，部分原因在于它在众多数学领域中的应用。在其原始领域中，该结果是表征欧几里得空间拓扑的关键定理之一， 与若尔当曲线定理、毛球定理、维数不变性和 Borsuk-Ulam 定理。这使它在拓扑基本定理中占有一席之地。 该定理还用于证明有关微分方程的深层结果，并且在大多数微分几何入门课程中都有涉及。它出现在博弈论等不太可能的领域。 在经济学中，布劳威尔不动点定理及其扩展角谷不动点定理在 1950 年代由经济学诺贝尔奖得主肯尼斯·阿罗 (Kenneth Arrow) 和 热拉尔·德布鲁。
鉴于法国数学家亨利·庞加莱 (Henri Poincaré) 和查尔斯·埃米尔·皮卡德 (Charles Émile Picard) 对微分方程的研究，该定理首先得到了研究。 证明 Poincaré-Bendixson 定理等结果需要使用拓扑方法。 这项 19 世纪末的工作开启了该定理的几个连续版本。 1910 年 Jacques Hadamard 首次证明了 n 维闭球的可微映射情形，1911 年 Brouwer 首次证明了连续映射的一般情形。
声明
该定理有多种表述方式，具体取决于它的使用环境和泛化程度。 最简单的有时给出如下：
平面内从闭盘到自身的每个连续函数至少有一个不动点。
在欧氏空间中，从欧氏空间的闭球到自身的每个连续函数都有一个不动点。
稍微通用一点的版本如下：
凸紧集从欧几里德空间的凸紧子集K到K本身的每个连续函数都有一个不动点。
更一般的形式以不同的名称更为人所知：
Schauder不动点定理从Banach空间的凸紧子集K到K本身的每个连续函数都有一个不动点。
先决条件的重要性
该定理仅适用于自同态函数（具有与域和余域相同的集合的函数）和紧集（因此，特别是有界和闭集）和凸集（或同胚到凸集）。 以下示例说明了为什么前置条件很重要。
作为自同态的函数 f
考虑函数
f ( x ) = x + 1 {displaystyle f(x)=x+1}
域 [-1,1]。 函数的范围是[0,2]。 因此，f 不是自同态。
有界
考虑函数
f ( x ) = x + 1 , {displaystyle f(x)=x+1,}
这是从 R {displaystyle mathbb {R} } 到自身的连续函数。 由于它将每个点都向右移动，因此它不能有固定点。 空间 R {displaystyle mathbb {R} } 是凸且闭的，但没有边界。
封闭性
考虑函数
f ( x ) = x + 1 2 , {displaystyle f(x)={frac {x+1}{2}},}
这是从开区间 (−1,1) 到自身的连续函数。 在这个区间内，它把每个点都向右移动，所以它不能有一个固定点。 空间 (−1,1) 是凸的且有界的，但不是封闭的。 函数 f 对于闭区间 [−1,1] 确实有一个不动点，即 f(1) = 1。
凸性
BFPT 并非严格需要凸性。 因为所涉及的性质（连续性，是一个不动点）在同胚下是不变的，所以 BFPT 等价于要求定义域是一个封闭单位球 D n {displaystyle D{n}} 的形式。 出于同样的原因，它适用于同胚于闭球的每个集合（因此也是闭球、有界、连通、无孔等）。
以下示例显示 BFPT 不适用于有漏洞的域。 考虑函数 f ( x ) = − x {displaystyle f(x)=-x} ，它是从单位圆到自身的连续函数。 由于 -x≠x 对单位圆上的任意一点都成立，所以 f 没有不动点。